Calculs

Calcul mental, approché, en arbre,
A nous la Division

Navigation dans les menus : dans le sommaire cliquez sur le titre d'un paragraphe pour y accéder directement, pour revenir au sommaire cliquez sur le titre du paragraphe.

• Introduction
• Présentation
• Installation
• Description
Calcul mental Calcul d'expression (défi :calcul en pluie)
Calcul d'équations
Calcul approché
Calcul en arbre
A nous la division
Calculs sur bandes(numériques)
• Bilans

1. Introduction

Les notions de calcul mental, rapide, pensé, .. (re)font une entrée remarquée dans les Instructions Officielles.

Dans le BO. hors série n° 1 du 14 février 2002 sur les nouveaux programmes

Objectifs

« Le calcul mental sous toutes ses formes (résultats mémorisés, calcul réfléchi) occupe la place principale et accompagne l'usage intelligent d'une calculatrice ordinaire. »

« Une bonne maîtrise des relations entre des nombres d'usage fréquent permet de structurer le domaine numérique. Elle fournit des points d'appui pour le calcul mental, notamment pour le calcul approché ,et constitue une première approche de l'arithmétique qui sera poursuivie au collège. »
« Dans ce domaine, les compétences en calcul mental (résultats mémorisés, calcul réfléchi exact ou approché) sont à développer en priorité. Pour cela, une bonne connaissance des tables est indispensable. Elle suppose de savoir fournir aussi bien un résultat direct (somme ou produit) qu'un résultat dérivé (complément et différence, facteur d'un produit ou quotient). Le calcul réfléchi implique la mise en oeuvre de procédures personnelles, adaptées à chaque calcul particulier : elles peuvent être uniquement mentales ou s'appuyer sur un écrit. L'explicitation et l'analyse, par les élèves, des raisonnements utilisés constituent un moment important de cet apprentissage. Le travail sur le calcul approché commence au cycle 3. »

Les connaissances relatives au calcul concernent :

• la mémorisation de résultats sur les nombres entiers et décimaux (voir la rubrique compétences) ;




• les techniques opératoires : addition, soustraction de nombres entiers ou décimaux, multiplication de deux nombres entiers ou d'un nombre décimal par un nombre entier, division euclidienne de deux nombres entiers (quotient entier et reste) ;




• le calcul réfléchi exact ou approché : organisation et traitement de calculs (mentalement ou avec l'aide de l'écrit), ordre de grandeur d'un résultat ;

Compétences devant être acquises en fin de cycle 3

4 - CALCUL

- connaître les tables d'addition (de 1 à 9) et de multiplication (de 2 à 9) et les utiliser pour calculer une somme, une différence ou un complément, un produit ou un quotient entier ;
- additionner ou soustraire mentalement des dizaines entières (nombres inférieurs à 100) ou des centaines entières (nombres inférieurs à 1000) ;
- multiplier ou diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1000 ;
- calculer des sommes et des différences de nombres entiers ou décimaux, par un calcul écrit en ligne ou posé en colonnes
- calculer le quotient et le reste de la division euclidienne d'un nombre entier (d'au plus 4 chiffres) par un nombre entier (d'au plus 2 chiffres), par un calcul posé. 4.2 Calcul réfléchi
- organiser et effectuer mentalement ou avec l'aide de l'écrit, sur des nombres entiers, un calcul additif, soustractif, multiplicatif ou un calcul de division en s'appuyant sur des résultats mémorisés et en utilisant de façon implicite les propriétés des nombres et des opérations ;
- organiser et effectuer des calculs du type 1,5 + 0,5 ; 2,8 + 0,2 ; 1,5 x 2 ; 0,5 x 3, en s'appuyant sur les résultats mémorisés et en utilisant de façon implicite les propriétés des nombres et des opérations ;
- évaluer un ordre de grandeur d'un résultat, en utilisant un calcul approché, évaluer le nombre de chiffres d'un quotient entier ;
- développer des moyens de contrôle des calculs instrumentés : chiffre des unités, nombre de chiffres (en particulier pour un quotient), calcul approché... ;

2. Présentation du logiciel

Le logiciel se compose :

• De plusieurs modules de travail
  
  Calcul mental, d'expression. (défi proposé)
  Calcul approché : particularisation du précédent.
  Calcul en arbre : calcul d'expressions arithmétiques (avec + ou -)
  Calcul de quotient : un moment dans l'apprentissage de la division.
  Calcul d'équations.
  Calculs sur bandes numériques : calcul d'écarts, calcul de reste (division euclidienne)
  



• D'éditeurs permettant de créer des scénarios, base des exercices mis à la disposition des élèves. Editeurs pour calcul mental, calcul approché et calcul de quotient.

A priori :
- Les enseignants et/ou les élèves doivent pouvoir paramétrer le logiciel. (ici à l'aide de scénarios).
- Les bilans sont accessibles et "utilisables!!!"
- La traduction est possible.

Les connaissances nécessaires pour calculer sont supposées avoir été travaillées avec l'enseignant.

3. Installation

Installation GNU/linux

Téléchargez soit abuledu-calculs-1.20.tgz, soit le rpm, soit l'exe(windows), ou une version plus récente
En utilisant les commandes ls (liste les fichiers et les répertoires) et cd (pour se déplacer dans un répertoire)
allez dans le dossier contenant calculs-1.20.tgz
tar xfvz abuledu-calculs-1.20.tgz
cd calculs
wish ./Calculs.tcl
Des répertoires par défaut sont crées. Il pourra être opportun de modifier les droits sur les éventuels nouveaux dossiers créés
Ces répertoires permettront l'enregistrement des scénarios que vous allez créer ainsi que les bilans par utilisateur.

4. Description :

Mis à part Calcul en arbre, ces modules exigent le choix du répertoire de travail : commun, individuel ou exemple.
Choix fait par le menu Réglages. Il en est de même pour la langue.

4.1 Calcul mental, calcul d'expression , défi (calcul en pluie)

La forme du logiciel est fortement inspirée d'un logiciel du plan Informatique Pour Tous de 1985.
Le fond en est le travail sur les expressions arithmétiques.

L'éditeur de scénario de calcul mental :

Accessible dans le menu Fichier / Editeur de Scénario mental/approché

Le scénario : Choisir le répertoire :
-   Commun  (à tous les utilisateurs en lecture-écriture))
-   Utilisateur ( comme son nom l'indique.)
-   Exemples (en  lecture pour tout le monde mais non modifiable)
Pour ajouter ou supprimer un nom de scénario :
Taper son nom dans la zone en bas à gauche puis cliquer sur Supprimer ou Ajouter.
Pour construire un scénario de nom déja présent ou le mettre à jour : double-cliquer sur son nom, (le nom du scénario sélectionné doit apparraître en bas à droite) puis , renseigner les zones de droite :
- Opération : choisir entre addition, soustraction,multiplication ou division en inscrivant un des signes suivants
+ - * /
- n de lignes : (n ombre de lignes) permet de paramètrer la durée des calculs.
- n colonnes (nombre de colonnes) : pour paramétrer le flux d'expressions à calculer.
- Les nombres : Peuvent être décimaux. Utiliser le point comme virgule. (14.236) Pour la division : à priori / donne le quotient euclidien. Sinon écrire par ex 15.0/4
- Les couples : écrire un nombre pair de nombres séparés par un espace. Deux par deux ils seront utilisés pour les calculs.
Pour automatiser la formation des couples : taper h"nombre" ou "nombre"h (par ex h12 ou 125h) dans le champ couples.
Cela pour avoir des séries du genre (125 12 125 6 125 3) ou (4 12 56 12 2 12 ...).
Pour cela :
donner le Nombre de couples voulu et le Nombre max à utiliser que le "hasard" ne dépassera pas.
On peut aussi, donner les couples dous la forme d'expressions arithmétiques :
Ex : 4 5+6 6*3 9/3 8-5 7+5 2.3*5.36 de 4 couples. 4+5 a + et  5 sont bien "tout attaché".
Puis cliquer sur sauver ou si vous venez de modifier un scénario Sauver, maj du scénario.

Contrôle des données :
-Opération choisie, nombre de colonnes, nombre de lignes sont remplacés par +, 2 12 s'il y a incohérence de ces données.
-Si il y a un nombre impair de nombres ou expression : 2 est ajouté.
-Si il y a un nombre "non-nombre", il est remplacé par 1.
-Tout diviseur nul est remplacé par 1.
Attention : s'i y a des modifications automatiques de données, il faut sauver une deuxième fois !!!

Exemple de scénario pour calcul mental en rapport avec l'éditeur :

Autre exemple avec des expressions arithmétiques :

Avec un nombre par colonne et des expressions arithmétiques :	Avec plusieurs colonnes :

L'Editeur de séquence :

Accessible dans le menu Fichier / Editeur de Scénario mental/approché

La séquence est une suite de scénarios existants.
Pour ajouter ou supprimer un nom de séquence :
Taper son nom dans la zone en bas à gauche puis cliquer sur Supprimer ou Ajouter ce nom.
Pour construire une séquence ou la mettre à jour : double-cliquer sur son nom, puis, renseigner la zone de droite.
-choisir des scénarios,
-puis cliquer sur Sauver séquence. Aucun controle des données n'est fait.
Ces scénarios, séquences sont sauvés dans des fichiers textes, que l'on peut donc travailler avec un éditeur de texte.

Activité calcul mental

Dans Activités choisir calcul_mental ou approché. Se nommer (ceci n'est pas nécessaire sous GNU/Linux). Paramétrer la durée entre deux "arrivées de nombre" (en ms). C'est une autre manière de paramètrer la durée des calculs. Par défaut le travail se fera sur une seule colonne et un seul nombre à la fois. Sinon choisir le défi : plusieurs calculs, plusieurs colonnes.     Choisir un exercice, scénario ou séquence. (double clic)     La fenêtre de jeu de calcul mental s'ouvre :

Cliquer sur Lancer les calculs. Ecrire, puis  taper sur Entrée ,  le résultat d'un quelconque des calculs présents.

Si le calcul est juste Bon calcul est affiché, sinon l'expression "descend" et un échec est signalé.
Si l'expression "arrive en bas" c'est Trop tard !!.
Et pendant ce temps, tant qu'il y a des nombres, les autres expressions arrivent régulièrement.
Un certain rythme est à prendre !!! 
Cliquer sur Résumé du travail, pour avoir soit sur écran et, sous GNU/linux, sur imprimante, une synthèse du travail effectué :

 




Cliquer sur Quitter. Le  bilan  archivé est obtenu par le menu fichier.
Si une séquence avait été choisie, le scénario suivant est alors proposé.

Autres exemples de calculs : avec les décimaux.

 

4.2 Calcul d'équations

4.3 Calcul approché

Sur le principe de calcul mental mais avec une seule colonne (automatique).
Même éditeur de scénario que le précédent. Accessible dans le menu Fichier / Editeur de Scénario mental/approché
L'activité consite à fournir une approximation des calculs avant qu'ils arrivent au bas de la fenêtre de jeu. On peut fixer l'approximation (à 5 près par défaut)
Remarque : Cette approximation est pour le moment du type |calcul_App - Calcul_Exact| inférieure à approximation.
Exemple :

4.4 Calcul en arbre

Calculs, "en arbre" de sommes ou de différences. Travail sur les expressions arithmétiques.
Semblable au travail fait par l'ICEM (Freinet), -JC Pomés-, autour des Cahiers de Technique opératoire.

Calcul en arbre ne comporte pas d'éditeur, le choix des données s'effectue directement dans la fenêtre de jeu :

• 1. Choisir deux nombres et l'opération (+ ou -)
• 2. Lancer les calculs par le bouton : Lancer le calcul
• 3. Tout se passe à la souris :
  

Au début du calcul partiel : à partir d'un des points rouges cliquer, tirer et lacher .. une flèche est tracée pour le premier nombre ainsi choisi .
Pour les autres, ATTENTION : cliquer, SANS GLISSER, sur un point rouge. Un segment d'extrémités ce point et le bout de la flèche précédente est ainsi tracé, puis un autre segment etc ... Ainsi l'arbre de calcul commence : cliquer sur le bout de la flèche (point d'intersection de ces segments) pour calculer, en ayant choisi l'opération (+ ou -).
Ecrire le nombre obtenu puis valider par entrée. Si le calcul est juste le processus continue : nouveau point rouge etc ... si non re_calculer !!. On n'avance que si le calcul est exact !! (même si non logique pour la soustraction)
L'effacement du dernier trait (ou fléche) est possible.
Remarque : En fait, pour chaque calcul intermédiaire, il y a construction de deux nombres : N1 et N2, pour calculer N1(+ -)N2. N1 est élaboré par addition à partir des clics sur une moitié d'écran et N2 avec l'autre moitié. Ce qui a de l'importance pour la soustraction.

• 4. La fin, correcte, du calcul est annoncée par Bon calcul.
• 5. L'expression arithmétique correspondant à l'arbre de calcul peut être donnée mais n'est pas analysée.
• 6. On peut recommencer le même calcul (ou un autre) en demandant Re-calculer/Autre Calcul , puis Lancer le Calcul.
• 7. On peut Imprimer, ou Sauver (au format postscript) sous GNU/linux seulement. Sous windows il reste les copies d'écran. Remarques : Les entrées - données sont controlées. Il est possible que des clics intempestifs bloquent la suite des calculs. Il faut recommencer.

Calcul en arbre en cours: (choisir + ou -):

Calcul en arbre : Exemple de calcul de différence :

Une ébauche d'évaluation de l'expression arithmétique est proposé par le bouton valid_expr.
A partir du calcul de la somme : 456+253

4.5 A nous la Division

A nous la Division est dans la lignée des "A nous les nombres". Cf Ladist Bordeaux (Brousseau, ... Briand, ..)
Ce logiciel est un outil pour participer à l'apprentissage des calculs de quotient Cycle 3 de l'école élémentaire.

Rappel

L'image ci-contre permet un rappel sur le vocabulaire intervenant dans la division.

L'éditeur d'A nous la Division :

Accessible dans le menu Fichier / Editeur de A nous la Division: permet d'élaborer, modifier un scénario :

Pour ajouter ou supprimer un nom de scénario :
Taper son nom dans le champ en bas à gauche puis cliquer sur Ajouter ou Supprimer ce nom.
Pour construire ou mettre à jour un scénario : Double_cliquer sur son nom, qui doit donc exister dans la liste de gauche. Puis choisir ses paramètres dans la zone de droite en cochant ou décochant :

• répertoire accessible : Aide du répertoire pour obtenir des multiples du diviseur.
• Calcul quotient automatique : pour déterminer le quotient.
• Calcul différence automatique : pour déterminer le(s) reste(s).

Remarque importante : la désactivation des 2 paramètres précédents permet d'expliciter les différentes étapes intervenant dans l'algorithme de la division euclidienne dans laquelle elles sont implicites. Les décocher permet donc de mieux décomposer cet algorithme.

• Forcer l'utilisation des "noeuds de numération" : (nbre à un chiffre) X (10 puissance n), pour déterminer le quotient.
• Récupération de la valeur du répertoire : permet lorsque le répertoire est accessible de récupérer le multiple du diviseur trouvé.

Choix pour dividende et diviseur :

• Pour déterminer ces données : cliquer sur fixés ici et complétez les case en bas Dividende et Diviseur.
• Pour avoir un dividende et un quotient limités en nombre de chiffres : cliquer sur hasard ici.
  Il s'agit d'en déterminer les intervalles de type : minimun (à gauche), maximun ( à droite). Dividende et quotient seront alors aléatoirement déterminer dans cette fourchette.
• A fixer lors du démarrage du calcul : cliquer sur à fixer.
  Mais alors il faudra, au démarrage de l'activité, donner les deux nombres : dividende et diviseur . Cette options peut être chosit pour que les élèves posent eux-mêmes leur opération.

A nous la Division

Dans Activités choisir Calculs de Quotients

1. Complétez les champs nom et classe. 2. Choisir Commun pour accéder aux scénarios et séquences présents sur le système ou Utilisateur pour accéder aux scénarios et séquences présents dans le répertoire de l'utilisateur. 3. Choississez un scénario en double cliquant dessus.

4. Déterminez le nombres de coups que vous pensez utiliser pour résoudre la division dans la fenêtre qui s'ouvre : Il s'agit ensuite de déterminer combien de fois le diviseur peut rentrer dans le dividende. En fonction du scénario choisi : valider toute réponse par Entrée. 6. Cliquez sur Accés répertoire pour ouvrir le répertoire correspondant aux multiples du diviseur : dans l'exemple suivant le diviseur est 7 En cliquant dans une case sur la partie droite, puis en bas (*10 ou /10) on peut se "fabriquer" un multiple de 7 Par exemple 3 X 7 *10 = 210 Cliquer sur Valider pour que ce multiple de 7 soit soustrait au dividende : 256-210

7. Effectuez la soustraction, vous obtenez 46

Tapez Entrée, 30 s'inscrit au quotient. Il s'agit maintenant de chercher combien de fois le diviseur peut rentrer dans le reste par la même méthode.
Lorsque le diviseur ne peut plus rentrer dans le dividende cliquez sur Fin du calcul du quotient ?

8. Il s'agit ensuite d'aditionner les termes présents au quotient pour en déterminer la valeur.

Un message résume le calcul (Division euclidienne) :

9. Calcul terminé. Un message indique si le quotient est bon et si le pari sur le nombre de coups prévu est réussi.

Contraintes

Des contraintes peuvent être paramétrées dans l'Editeur de A nous la Division :

	- Exiger ou pas la forme du nombre de fois véritable "noeud" de la numération : quotient multiples de 10, 100,...

- Il y a un message si le nombre de fois est trop grand :

- Le nombre de soustractions est limitée à 9, avec un avertissement à 8. :

5 Calculs sur bandes numériques.

• Cache Tampon (écarts)
(cf Ermel Cycle II)
Principe : l'un des participants doit trouver un nombre naturel défini par l'autre. Cela se fait sur le principe du chaud, tiède, froid.
La recherche est limitée dans un intervalle de "3 fois froid".
Le second dit le chaud, tiède, ... et est contrôlé par le programme.
Le premier au vu des réponses précise son approche et .... trouve !!!
Ce qui est en jeu est donc le calcul d'écarts(soustraction).

Déroulement : Un des deux est l'élève connecté. Le nom du second est demandé (ce peut être "ordinateur" ou "ordi").
Il faut alors choisir qui contrôle (A) et qui cherche (B).

(A) fixe alors le nombre à chercher, puis les valeurs pour le chaud, le tiède, ..sauf si :
    le second est "ordinateur" alors les bornes du chaud,  tiède, froid sont fixées à 2,4,6,  et c'est le premier qui cherche.
    le second est "ordi" c'est "ordi" qui cherche et le premier qui observe et contrôle ce que fait "ordi" .
Le programme fixe alors les limites de la recherche que (B) ou "ordi" doit mémoriser pour commencer sa recherche.
Pour cela (B) ou ("ordi" c.a.d le programme) tape un nombre dans le champ Essai.
(A)  tape alors dans le champ Décisions son avis : c pour chaud, t, f, r pour rien.
Le programme contrôle et au besoin corrige cette appréciation. Et ainsi de suite ..
Si le second est "ordinateur"  la décision est directement donné dans le champ Réponses.


On peut recommencer en fixant à nouveau chaud, tiède,... (sauf si l'autre est "ordinateur")
Le programme fixe alors la cible que doit alors retenir (A).


• Serpent (division euclidienne)
(cf Ermel Cycle II)
Principe :

L' un des participants choisit plusieurs nombres de la bande numérique comme pièges.
L'autre va à partir d'un nombre départ "sauter régulièrement de pas en pas".
Il doit choisir , dans une zone départ(pas),ce nombre départ et ce afin d'éviter les pièges.
L' ordre des actions peut être inversé.
Ce qui est en jeu est donc d + n*pas est égal ou pas à x (avec d < pas. )
Ce peut être la division euclidienne.

Déroulement :

L'un des deux participants est le connecté.
Le nom de l'autre est demandé (ce peut être "ordinateur").
Puis il faut désigner celui qui va pouvoir choisir entre poser les pièges ou choisir le départ et "sauter".
Puis il faut choisir soit le pas soit un paramètrage pré-programmé
en tapant "s1" ou s2 ...ou s9 ou "S1" ...S9
Chaque "si" ou "Si"  fixe le pas puis (poser_piège ou choix_départ) puis les contraintes sur les pièges.
Ces trois  contraintes sont :
nombre de pièges, écart entre pièges, distance au départ.
Ce choix du pas ou de "Si" fait l'un va choisir le départ, l'autre les pièges.
 Par exemple (A) pose les pièges en premier et (B) devra choisir le départ adéquat.
(B) peut alors "sauter seul" c.a.d en automatique, ou "par bonds ".
Cela se termine en ayant évité, ou pas, tous les pièges.
Des contraintes sur les pièges peuvent être fixées (fixées dans les "Si"):
trop peu de pièges, pièges trop proches les uns des autres, pièges trop près du départ !!!
On peut essayer à nouveau (limité) avec les mêmes données de départ : pièges ou départ
On peut aussi tout recommencer : nom, ...

 
• Piquet (division euclidienne)
(cd Brouseau course à 20 pas de 3)
Principe :

Il s'agit d'atteindre une cible, par exemple 20. Comment ?
Chacun des deux élèves ajoute 1 ou 2 ou .. pas-1 à la somme précédente et ce à partir de 0.
Il s'agit d'atteindre ainsi la cible(20) par saut de 1 ou 2 (pas 3).
En fait il s'agit surtout de montrer que l'on peut, à coup sûr (presque), atteindre la cible.
Pour dire 20 il me faut dire 17. Pour dire 17 ....
C'est ici que le reste de la division euclidienne peut intervenir.

Déroulement :

Le nom d'un des deux élèves(A) est celui qui est connecté. Le nom du second(B) est demandé.
Il faut ensuite dans l'ordre choisir la cible puis le pas.
Il faut ensuite désigner celui qui va commencer : (A) ou (B).
Cliquer sur Allons-y! pour démarrer l'activité.
(A) et (B) tapent successivement leur nombre dans les deux champs (A) (B)
Lorsque la cible est atteinte la situation se termine.
En fait le travail est fait dans le cadre d'une session (noms, cible, pas)
qui est faite d'essais dont les résultats s'inscrivent dans le champ "du bas".
On peut donc soit partir dans un nouvel essai (Bouton Autre Essai),
soit enclencher une nouvelle session (Bouton Autre Session).
Si (B) est "ordinateur" (A) va pouvoir jouer contre lui !!!
Mais si "ordinateur" commence il est presque sûr de gagner

6 Bilans

Des bilans existent pour les calculs en-pluie et approché. Bilan par élève. (par ex fichier toto.log) accessible par l'élève et par classe (par ex cm2.bil ) accessible par le prof.
Ces fichiers sont des fichiers textes que l'on peut donc lire avec un éditeur de texte.

Sous GNU/Linux les clases (cm2.bil ..) doivent etre en 777.
Le bilan demande une analyse plus poussee.
Pour calcul en arbre, on accède au travail de l'élève par Fichier/Bilans.
Trois exemples de bilan de l'elevea.cma : pluie, approché, expressions.

Remarque : Les répertoires utilisés pour bilans et exercices sont initialisés dans le fichier calculs.conf